Kejli i Silvester

Otac Artura Kejlija boravio je u Petrogradu, Rusiji, iako je porodica Hamilton decenijama pre živela u Engleskoj. Artur je odrastao u Rusiji, a u Englesku su se preselili kada je napunio osam godina. Bio je veoma vešt u matematici, pa se na King koledžu isticao natprosečnim matematičkim sposobnostima.

Profesor matematike nagovarao ga je da nastavi školovanje u ovoj oblasti, dok je otac želeo da se posveti porodičnom poslu u trgovini. Artur je 1838. godine započeo studije na Triniti koledžu Univerziteta u Kembridžu, gde je i diplomirao 1842. godine. Tokom studija objavio je tri rada u časopisu „Kembridž matematički žurnal". Diplomirao je kao „stariji Vrangler" (Senior Wrangler) i prvi osvojio Smitovu nagradu. Dobio je stipendiju i četiri godine predavao na Kembridžu. Za to vreme objavio je još dvadeset osam radova u pomenutom časopisu.

Stipendija je bila ograničenog trajanja pa je Kejli morao da se posveti određenoj profesiji. Izabrao je prava i pristupio advokatskoj komori 1849. godine. Radio je četrnaest godina kao advokat, i premda je bio vešt u ovoj profesiji, video ju je samo kao način zarade koji mu omogućava da se posveti matematici.

Dok se pripremao za advokata otišao je u Dablin da bi slušao Hamiltonova predavanja o kvaternionima. Njegov prijatelj, advokat Silvester, takođe je bio posvećen matematici, pa su često raspravljali o matematičkim problemima.

Džejms Džozef Silvester nije bio samo matematičar već i pesnik i dobar kozer, pored Lajbnica najistaknutiji tvorac novih termina u istoriji matematike. Za vreme drugog boravka u Sjedinjenim Državama ušao je u redove onih koji su postavljali temelje naučnog rada na američkim univerzitetima. Predavačka delatnost Silvestera predstavljala je početak procvata matematike u SAD.

Tokom četrnaestogodišnjeg rada u advokaturi, Kejli je uspeo da objavi dvesta pedeset matematičkih radova - postavlja se pitanje koliko matematičara može da se uporedi sa produktivnošću ovog „amatera". Značajne rezultate objavio je u devet „Memoara o kvantikama" (Memoris on Quantics, 1854-1878). Šesti rad u toj seriji (1859) sadrži projektivnu definiciju metrike u odnosu na konusni presek. To otkriće dovelo je Kejlija do projektivne definicije euklidske metrike i omogućilo mu da uvede metričku geometriju u sistem projektivne geometrije. Vezu između te projektivne metrike i neeuklidske geometrije Kejli nije zapazio, tako da ju je kasnije otkrio Feliks Klajn. 

Artur Kejli je 1863. godine prihvatio predlog da preuzme novu matematičku katedru na Kembridžu, gde je zatim predavao trideset godina. Njegov prihod, u odnosu na period kada je radio kao advokat, znatno se smanjio. Bez obzira na to, Kejli je bio srećan jer se posvetio matematici. Kao Sadlerian (Sadleirian) profesor čiste matematike imao je obaveze da objašnjava osnove čiste matematike i da se posveti napretku ove oblasti.Objavio je više od devetsto radova o skoro svim oblastima moderne matematike. Najznačajniji su radovi o razvoju algebre matrica, u neeuklidovoj geometriji i n-dimenzionalnoj geometriji.

Studija o permutacijama povezana je sa radom Košija, a 1854. godine Kejli je napisao dva rada koja su značajna za sagledavanje apstraktnih grupa. U to vreme jedino su bile poznate permutacione grupe i to je bila nova oblast, ali je Kejli definisao apstraktne grupe i stvorio tablicu koja prikazuje kako se množi u grupi. Ovo je značajno za upoznavanje koncepta apstraktnih grupa, shvatio je da su matrice i kvaternioni grupe.

Razvio je teoriju algebarske invarijancije, a njegov doprinos u vidu n-dimenzionalne geometrije primenjen je u fizici za izučavanje beskonačnosti prostora - vremena. Rad o matricama poslužio je kao osnov razvoja kvantne mehanike, koju je kasnije razvio Hajsenbert (1925. godine). Kejli je takođe sugerisao da su Euklidova i neeuklidova geometrija specijalne vrste geometrije. Ujedinio je nacrtnu i metričku geometriju, koja zavisi od veličine uglova i dužine linija.

Godine 1881. pozvan je da održi predavanja na Džon Hopkins univerzitetu u Americi, gde je predavao i njegov prijatelj Silvester. Od januara do maja 1882. godine Kejli je predavao o abelijan i teta funkcijama.