Pet kockica, 300 brojeva i 15 godina matematike – rešen problem „ko igra prvi“

Tim matematičara otkrio je da pet kockica sa po 60 strana, na kojima su brojevi raspoređeni na tačno određen način, može da odredi potpuno pravedan redosled igranja za bilo koju grupu igrača, bez ikakve mogućnosti da dođe do nerešenog ishoda.

Tokom večere na jednoj konvenciji društvenih igara oko 2010. godine, dizajner igara Džejms Ernest okrenuo se svom prijatelju Eriku Haršbargeru i postavio mu pitanje: Da li je moguće napraviti set kockica tako da svaki igrač u grupi – bilo da ih je dvoje ili više – može da uzme jednu, baci je i ima potpuno jednake šanse da igra prvi?

Pravilo je jednostavno: bacite kockice i onaj ko dobije najveći broj igra prvi. Teži deo je obezbediti da ishod zaista bude pravedan za svakog igrača, bez obzira na to koliko ih sedi za stolom.

Nije smelo da bude nerešenih ishoda, niti ponovnog bacanja.

Haršbarger, matematičar sa Univerziteta Obern u Alabami, te večeri nije imao odgovor. Međutim, pitanje mu nije izlazilo iz glave.

Tokom narednih 15 godina, on i neformalna mreža saradnika povremeno su radili na rešavanju onoga što je postalo poznato kao problem „kockica za određivanje prvog igrača“.

Sada su konačno došli do rešenja: set od pet kockica sa po 60 strana, na kojima su zajedno ugravirani svi brojevi od 1 do 300, bez ponavljanja.

Kako bi obeležio uspeh, Haršbarger je napravio pet ogromnih drvenih replika tih heksekontaedara – trodimenzionalnih tela sa 60 strana – od kojih je svaka izrađena od druge vrste drveta. One su sada deo stalne postavke u novoj zgradi matematičkog odeljenja Univerziteta Obern.

Problem sa kockicama

Da bi se razumelo zašto je ovaj problem bilo toliko teško rešiti, najpre treba razumeti njegov jednostavniji deo.

„Lako je izbeći nerešen ishod – jednostavno stavite različite brojeve na sve kockice“, rekao je Haršbarger za Lajv sajens. „Problem nastaje kada treba rasporediti te različite brojeve po kockicama tako da verovatnoća bude jednaka ne samo za ceo set već i za bilo koji njegov podskup.“

Upravo taj drugi uslov čini problem izuzetno teškim. Ernest nije tražio samo da osam igrača može ravnopravno da baca kockice, već da bilo koji broj igrača može da uzme bilo koje kockice iz vrećice, baci ih i da svi i dalje imaju jednake šanse. Ako igra petoro ljudi, svako uzima po jednu kockicu. Ako ih je troje – isto važi. Brojevi na svakoj kockici morali su da budu raspoređeni tako da pravednost ostane očuvana bez obzira na broj igrača.

Haršbarger je u istraživanje uključio prijatelja iz detinjstva Roberta Forda, matematičara sa Državnog koledža Dalton. Za samo nekoliko nedelja došli su do rešenja za tri igrača: brojeve od 1 do 18 rasporedili su na tri standardne šestostrane kockice na tačno određen način. Ford je kasnije, računajući u potpunosti ručno, utvrdio da četiri kockice sa po 12 strana mogu na pravedan način da se koriste za četiri igrača.

Do 2012. godine Haršbarger je već predstavljao set za četiri igrača na matematičkim konferencijama. Njegovo elektronsko sanduče bilo je preplavljeno porukama. Počeo je kod kuće ručno da izrađuje i prodaje setove – kupovao je prazne kockice sa 12 strana, laserskim rezačem u svojoj radionici urezivao brojeve na svaku stranu, a zatim svaki broj ručno bojio.

Na vrhuncu potražnje nosio je u poštu po 30 koverata odjednom, i to nekoliko puta nedeljno, šaljući setove kupcima širom sveta.

Međutim, kako je tim dublje proučavao matematiku koja stoji iza svega, otkrili su da kockice rade nešto još neobičnije nego što su u početku shvatili: njihov raspored nije određivao samo ko će igrati prvi već i celokupan redosled igranja, pri čemu je svaki mogući redosled igrača imao potpuno jednaku verovatnoću.

„Ako bi četvoro ljudi bacalo kockice, verovatnoća da igrači završe po redosledu A, B, C, D bila je ista kao da redosled bude C, B, D, A, ili bilo koja druga kombinacija“, rekao je Haršbarger. „Naziv 'kockice za određivanje prvog igrača' zapravo je pomalo pogrešan, jer one rade mnogo više od toga da odrede ko će biti prvi – one zapravo određuju redosled svih igrača.“

Ovo svojstvo, koje tim naziva „pravednost permutacija“, postalo je standard kojem su težili prilikom izrade svakog narednog seta kockica.

Više kombinacija nego atoma u svemiru

Četiri igrača bila su jedno. Pet igrača predstavljalo je sasvim drugi problem.

Matematički gledano, tim je znao da je moguće napraviti set kockica istog oblika za pet igrača. Međutim, pronalaženje takvog rešenja zahtevalo je pretraživanje nezamislivo velikog broja mogućih rasporeda brojeva.

„Govorimo bukvalno o broju koji je veći od broja atoma u svemiru – oko 10 na 128. stepen kombinacija“, ističe Haršbarger. „Jednostavno nema načina da se to uradi, čak i kada bismo imali milijardu milijardi godina, sve računare i svu veštačku inteligenciju. Ni danas ne bismo mogli da rešimo problem na taj način.“

Nije bilo moguće doći do rešenja prostim isprobavanjem svih kombinacija. Bile su im potrebne matematičke prečice – simetrije i obrasci koji bi smanjili prostor pretrage. Ali čak i tada su prolazile godine bez praktičnog rešenja. Svaki put nailazili su na isti problem: kockice su bile prevelike da bi se držale u ruci ili su imale previše strana da bi mogle praktično da se proizvedu.

„Moj cilj je bio da napravimo set za pet igrača koji zaista može da se proizvede, koji možete da držite u ruci i koji ljubitelji društvenih igara mogu da kupe i bacaju“, naglašava matematičar.

„Čak i ako je problem, kada je reč o samoj igri, smešan i besmislen – matematički je zanimljivo pitanje da li možete da kupite te stvari, bacate ih i da one funkcionišu. To ne možete da uradite sa kockicama koje imaju 180 strana.“

A onda je, sredinom 2023. godine, kanadski softverski inženjer Pol Majer iznenada poslao mejl Haršbargeru. Proučavao je obrasce u Haršbargerovim podacima za četiri igrača i napisao program koji je trebalo da ih iskoristi. Nije očekivao da će odmah funkcionisati.

Ali jeste.

Majer je pronašao raspored za pet kockica sa po 60 strana koji je ispunjavao sve uslove.

„Dva puta sam proverio njegov rad i pomislio: 'O, bože, toliko dugo smo tragali za ovim. Ovo je neverovatno'“, priznaje Haršbarger.

Od radionice do galerijskog zida

Set za četiri igrača odavno su počeli da prodaju specijalizovani trgovci – „Maths Gear“ u Velikoj Britaniji i „Math Art Fun“ u Sjedinjenim Državama – pa je Haršbarger godinama ranije prestao da ih ručno izrađuje. Sada je i verzija za pet igrača postala stvarnost i bila je dovoljno mala da može da se proizvodi.

Ali priča je dobila još jedan obrt. Univerzitet Obern gradio je novu zgradu za svoj matematički odsek i tražio ideje za skulpture koje bi bile postavljene u njoj. Haršbarger je predložio da od drveta napravi ogromne verzije pet novih kockica. Odeljenje je prihvatilo predlog.

Mesecima je radio u svojoj stolarskoj radionici, praveći pet predimenzioniranih kockica. Svaka je napravljena od druge vrste drveta – bora, topole, hrasta, oraha ili mahagonija. Pet skulptura sada se nalazi u novoj zgradi matematičkog odeljenja Univerziteta Obern, koja je otvorena ove jeseni.

Za Haršbargera, suština čitavog projekta jeste da matematika postane nešto pored čega je nemoguće samo proći.

„Kada ljudi vide ogromne ili male kockice, fascinira ih već sama geometrija“, rekao je Haršbarger. „Nada je da će videti te predmete i pomisliti: 'O, pa i ovo je matematika, i ovo je zanimljivo.' Neki od najzanimljivijih matematičkih problema jesu oni koje je lako razumeti, ali na koje nije lako pronaći odgovor.“