Кејли и Силвестер

Отац Артура Кејлија боравио је у Петрограду, Русији, иако је породица Хамилтон деценијама пре живела у Енглеској. Артур је одрастао у Русији, a у Енглеску су се преселили када је напунио осам година. Био је веома вешт у математици, па се на Кинг колеџу истицао натпросечним математичким способностима.

Професор математике наговарао га је да настави школовање у овој области, док је отац желео да се посвети породичном послу у трговини. Артур је 1838. године започео студије на Тринити колеџу Универзитета у Кембриџу, где је и дипломирао 1842. године. Током студија објавио је три рада у часопису „Кембриџ математички журнал". Дипломирао је као „старији Вранглер" (Senior Wrangler) и први освојио Смитову награду. Добио је стипендију и четири године предавао на Кембриџу. За то време објавио је још двадесет осам радова у поменутом часопису.

Стипендија је била ограниченог трајања па је Кејли морао да се посвети одређеној професији. Изабрао је права и приступио адвокатској комори 1849. године. Радио је четрнаест година као адвокат, и премда је био вешт у овој професији, видео ју је само као начин зараде који му омогућава да се посвети математици.

Док се припремао за адвоката отишао је у Даблин да би слушао Хамилтонова предавања о кватернионима. Његов пријатељ, адвокат Силвестер, такође је био посвећен математици, па су често расправљали о математичким проблемима.

Џејмс Џозеф Силвестер није био само математичар већ и песник и добар козер, поред Лајбница најистакнутији творац нових термина у историји математике. За време другог боравка у Сједињеним Државама ушао је у редове оних који су постављали темеље научног рада на америчким универзитетима. Предавачка делатност Силвестера представљала је почетак процвата математике у САД.

Током четрнаестогодишњег рада у адвокатури, Keјли је успео да објави двеста педесет математичких радова - поставља се питање колико математичара може да се упореди са продуктивношћу овог „аматера". Значајне резултате објавио је у девет „Мемоара о квантикама" (Memoris on Quantics, 1854-1878). Шести рад у тој серији (1859) садржи пројективну дефиницију метрике у односу на конусни пресек. То откриће довело је Кејлија до пројективне дефиниције еуклидске метрике и омогућило му да уведе метричку геометрију у систем пројективне геометрије. Везу између те пројективне метрике и нееуклидске геометрије Кејли није запазио, тако да ју је касније открио Феликс Клајн. 

Артур Кејли је 1863. године прихватио предлог да преузме нову математичку катедру на Кембриџу, где је затим предавао тридесет година. Његов приход, у односу на период када је радио као адвокат, знатно се смањио. Без обзира на то, Кејли је био срећан јер се посветио математици. Као Садлериан (Sadleirian) професор чисте математике имао је обавезе да објашњава основе чисте математике и да се посвети напретку ове области.Објавио је више од деветсто радова о скоро свим областима модерне математике. Најзначајнији су радови о развоју алгебре матрица, у нееуклидовој геометрији и n-димензионалној геометрији.

Студија о пермутацијама повезана је са радом Кошија, а 1854. године Кејли је написао два рада која су значајна за сагледавање апстрактних група. У то време једино су биле познате пермутационе групе и то је била нова област, али је Кејли дефинисао апстрактне групе и створио таблицу која приказује како се множи у групи. Ово је значајно за упознавање концепта апстрактних група, схватио је да су матрице и кватерниони групе.

Развио је теорију алгебарске инваријанције, а његов допринос у виду n-димензионалне геометрије примењен је у физици за изучавање бесконачности простора - времена. Рад о матрицама послужио је као основ развоја квантне механике, коју је касније развио Хајсенберт (1925. године). Кејли је такође сугерисао да су Еуклидова и нееуклидова геометрија специјалне врсте геометрије. Ујединио је нацртну и метричку геометрију, која зависи од величине углова и дужине линија.

Године 1881. позван је да одржи предавања на Џон Хопкинс универзитету у Америци, где је предавао и његов пријатељ Силвестер. Од јануара до маја 1882. године Кејли је предавао о абелијан и тета функцијама.