Развој математике у 19 . веку

Ако би се дух математике од средине деветнаестог века могао описати једном реченицом, онда би она вероватно указала на „све већу генерализацију и све оштрију самокритичност". Како је деветнаести век одмицао, математичари су се све више претварали у градитеље огромних и садржајних научних система, у којима су појединачне теореме биле потпуно подређене величанственим структурама свеобухватних теорија.

Златно доба математике карактерисала је израда све моћнијег оружја за напад на читаво мноштво старих тешкоћа, уместо за вођење појединачних битки са њима. То је оно по чему се кардинално издваја начин рада математичара данас, од онога који су највећи математичари примењивали све до прве трећине седамнаестог века

У 19.веку математика је постала веома апстрактна. Тада је живео један од највећих математичара: Карл Фридрих Гаус.

Гаус се родио 1777. године, у немачком граду Брауншвајгу и био је син надничара. Војвода Брауншвајга обратио је пажњу на младог вундеркинда и побринуо се за његово школовање. Гаус се школовао у Гетингену, а 1799. године докторирао је у Хелмштату. Од 1807. године до смрти (1855) радио је као директор опсерваторије и професор универзитета у своме родном месту.

Из Гаусових дневника види се да је у седамнаестој години почео да долази до изненађујућих открића. На пример, 1795. године, независно од Ојлера, пронашао је закон квадратне реципрочности (узајамности) у теорији бројева. Нека од његових раних открића изложена су у његовој хелмштатској дисертацији из 1799. године, као и у његовим импознатним „Аритметичким истраживањима" (Disquisitiones arithmeticae, 1801).

У дисертацији је дат први строги доказ тзв. ʼосновне теореме алгебреʼ, у којој се тврди да свака алгебарска једначина са реалним коефицијентима има најмање један корен, па према томе, има толико корена колико износи број јединица у изложиоцу степена једначине. Централно место заузима теорија квадратних форми, остатака и конгруенције другог степена. Изузетна достигнућа су закон о квадратним остацима ‒ златна теорема, коју је први у потпуности доказао Гаус.

Он је подједнако био одушевљен том теоремом као и основном теоремом алгебре. Касније је објавио још пет доказа, а један је нађен међу његовим папирима после његове смрти. „Аритметичка истраживања" садрже и Гаусове резултате о подели круга, то јест о коренима једначине.

Ту је дошао до изванредне теореме, у којој се тврди да се само помоћу шестара и лењира може конструисати правилни седанаестоугао, односно уопштено, правилни n-тоугао где је

"n" прост број , а k = 0, 1, 2, 3...

што представља задивљујуће геометријско уопштење у грчком духу.

Гаус није заборавио своју прву љубав „царицу математике", већ је у периоду када је све своје снаге концентрисао на геодезијске проблеме, радио на биквадратним резидуумима и о томе је 1825. и 1831. године објавио радове. То је био наставак његове теорије квадратних остатака, која је изложена у „Аритметичким истраживањима", али је овом приликом користио нову методу: теорију комплексних бројева.

У раду из 1831. године, дата је не само алгебра већ и аритметика комплексних бројева. Ту се појављује нова теорија простих бројева, у којој три и даље остаје прост број, али

5 = (1 + 2i )(1 - 2i )

више није прост број. Та нова теорија комплексних бројева објаснила је многе нејасноће у аритметици, пошто се закон квадратне узајамности овде добијао лакше него у области реалних бројева. У том раду Гаус је заувек одстранио ону тајанственост која је обавијала комплексне бројеве, уводећи појам комплексног броја помоћу тачака у равни.

Гаус је још 1800. године открио елиптичке функције, а око 1816. године, владао је нееуклидском геометријом. Био је немачки математичар и научник који је дао значајан допринос у многим пољима, укључујући теорију бројева, анализу, диференцијалну геометрију, геодезију, електростатику, астрономију и оптику. Познат као „принц математичара" и „највећи математичар од давнина", Гаус је оставио траг на многим пољима математике и науке и сматра се једним од најутицајнијих математичара у историји.

Гаус је крунисао аритметику за „краљицу математике". Захваљујући његовом снажном проналазачком духу дошло је до више дубоких и широких токова математичког прогреса у деветнаестом и двадесетом веку.

За Гауса, као и за Грке, аритметика је пре свега била проучавање особина целих бројева. Грци су употребљавали различите изразе за рачунање и примену рачунања у трговини. За ову практичну врсту аритметике, аристократски робовласнички Грци осећали су неку врсту презира називајући је логистиком, термином који је остао да живи у школама које се баве логиком и основама математике.